28. Здесь «два смежных элемента» означают два бесконечно малых соприкасающихся отрезка кривой, концы которых определяются тремя бесконечно близкими между собою точками; проведённая через них окружность и есть соприкасающаяся или оскулирующая окружность, радиус которой есть радиус кривизны кривой в данном месте.
29. Главные оси вращения теперь называются главными осями инерции. Одна из этих трёх осей соответствует наибольшему моменту инерции, и вращение вокруг неё устойчиво. Вращение вокруг двух других осей, для которых момент инерции меньше, — неустойчиво. Вполне симметричное тело, например однородный шар, имеет равные моменты инерции относительно любой оси, вокруг которой вращение устойчиво. У Лапласа в формулировке отмеченной фразы имеется неточность.
30. Если бы в периодах обращения Юпитера и Сатурна была строгая соизмеримость, то через пять обращений Юпитера, равных двум обращениям Сатурна, взаимное положение этих планет повторилось бы, как и их возмущения. При каждом последующем соединении планет возмущения суммировались бы, и наступило бы явление резонанса. Не вполне строгая соизмеримость имеет то последствие, что их взаимные возмущения постепенно изменяются, вызывая неравенство долгого периода, ранее открытое наблюдениями и теоретически объяснённое Лапласом.
31. Для сравнения приводим современные значения упомянутых здесь величин.
Название светил
Сила тяжести
в единицах силы
тяжести на экваторе
Земли
Средняя
плотность
По отношению
к плотности воды
Солнце
27.9
1
1.41
Земля
1.0
3.92
5.52
Юпитер
2.31
0.93
1.31
Сатурн
0.9
0.49
0.69
32. Открытое Лапласом влияние уменьшения эксцентриситета земной орбиты на среднюю долготу Луны дало ему ускорение векового движения Луны в 10."2 за столетие, почти совпадающее с наблюдениями и обнаруженное ещё Галлеем в 1693 г. Казалось, что этим была решена загадка векового ускорения Луны. Однако Адамс в 1853 г., повторивший вычисления Лапласа с учётом членов более высокого порядка, показал, что результат Лапласа завышен почти в два раза, так что ещё около 5" оставались необъяснёнными. Ныне мы знаем, что эта невязка происходит вследствие замедления вращения Земли под влиянием приливного трения и вызванной этим замедлением ошибки в измерении времени. Введение эфемеридного времени эту невязку устранило.
33. Неправильное заключение о постоянстве продолжительности суток вызвано ошибкой в вычислении векового ускорения Луны, которое Лаплас получил совпадающим с наблюдениями (см. комм. 32). В действительности длина суток возрастает приблизительно на 0.s001 в столетие, что в сочетании с правильным вековым ускорением Луны объясняет различие почти в два часа для моментов затмений Солнца и Луны, наблюдённых во времена Гиппарха. Как указал Кант ещё в 1754 г., морские приливы тормозят вращение Земли, что было обнаружено уже после Лапласа (см. с. 372).
34. Лаплас описывает здесь одно из двух частных решений задачи трёх тел, данных Лагранжем в 1772 г., без упоминания их автора. Если три тела находятся в вершинах равностороннего треугольника и им приданы соответствующие по величине и направлению скорости, то такая конфигурация окажется устойчивой, причём треугольник будет вращаться в собственной плоскости. Другое решение, которое приводит Лаплас, состоит в расположении трёх тел по одной прямой, которая также вращается в одной плоскости.
35. Во время Лапласа было известно 7 спутников Сатурна.
Номера спутников
в порядке
возрастающего
расстояния
от планеты
Название
спутников
Автор
открытия
Год
открытия
1
Мимас
В. Гершель
1789
2
Энцелад
Он же
1789
3
Тефия (Тефида)
Д. Кассини
1684
4
Диона
Он же
1684
5
Рея
Он же
1672
6
Титан
X. Гюйгенс
1655
7
Япет
Д. Кассини
1671
С тех пор найдены
Между Титаном и Япетом
Гиперион
Д. Бонд
1848
Наиболее близкий
Янус
О. Дольфюс
1966
Самый далёкий
Феба
В. Пикеринг
1898
36. Отношение q центробежной силы на земном экваторе к силе тяжести равно 1/288, или, точнее, 0.003468, откуда 5q/4=0.004335.
37. Если через q обозначить отношение центробежной силы на земном экваторе к силе тяжести и через β - коэффициент при квадрате синуса широты, равный (gp-ga)/ga, где gp - ускорение силы тяжести на полюсе и ga - то же на экваторе, описание Лапласа приводит к формуле:
g
=
g
a
(1+βsin²φ),
β=
5
2
q
-α,
где α=(a-b)/a есть сжатие земного эллипсоида с полуосями: экваториальной a и полярной b. Это - знаменитое уравнение, выведенное Клеро в 1743 г. и дающее не только силу тяжести на поверхности земного эллипсоида, но и его сжатие независимо от распределения плотности внутри. Лаплас приводит его без упоминания автора.
38. Лишь в конце XIX столетия было открыто движение полюсов на поверхности Земли и начато его систематическое изучение. Вековое движение их не превосходит нескольких сантиметров в год и совершенно недостаточно для объяснения ледниковых периодов. О движении полюсов за миллионы лет достоверных сведений не имеется.
39. Здесь Лаплас ещё раз обнаруживает незнание основной причины изменения скорости вращения Земли, а именно замедления, вызванного торможением приливной волной, обегающей Землю в направлении, противоположном её суточному вращению, на что ещё в 1754 г. указал Кант (См. комм. 32).
40. Высказанные здесь соображения Лапласа о природе кольца Сатурна не привели его к окончательному выводу, причём труднее всего был вопрос об устойчивости кольца, которая казалось, должна нарушаться притяжением спутников и другими причинами. Вопрос был решён английским физиком Максвеллом в 1856 г., показавшим, что кольцо может состоять лишь из огромного числа мелких твёрдых частиц, каждая из которых обращается вокруг центра планеты по законам Кеплера. Промежуток между внешним и светлым внутренним кольцами — так называемая щель Кассини объясняется возмущениями от спутников. Внутреннее тёмное «креповое» и слегка прозрачное кольцо состоит из более разреженного роя частиц. Прямое доказательство такого строения колец получили в 1895 г. Килер в США, а затем А. Белопольский в России в Пулково с помощью спектрограмм, показавших, что кольца вращаются не как одно целое, причём, согласно третьему закону Кеплера, наружные части движутся медленнее внутренних.
