Другое начало - Бибихин Владимир Вениаминович
Наше современное размазанное знание бесконечности, в основном проецируемой на концы вселенной и времени, — размазанное потому, что-то ли нет конца вселенной, то ли она искривлена и загнута и имеет край, мы в конечном счете не знаем, — могло бы быть отрезвлено, исправлено опытом бесконечности с убедительностью, о которой я сказал. Ничего подобного однако не происходит, потому что парадоксальным образом для новоевропейского ума на месте неприступной бесконечности встало понятие предела, сделавшее в 19 веке возможным «исчисление» бесконечно малых. Операции с бесконечностью для античности были очевидной невозможностью. Сейчас господствует в целом неопределенное расхожее представление, что с бесконечностью что-то решено, как-то справились. Надо читать специальные книги, чтобы узнать, что парадоксы Зенона остались проблемой. Опыта бесконечности, встречи с настоящей бесконечностью, как для Ксенофана например осязаемо земля подступала к нему как бесконечная масса, мы, современные люди, лишены. Для античной мысли достаточно убедительной была встреча с несоизмеримостью в математике. За асимметрией вставала бесконечность, за ней иррациональность, запрещая мечтать о том, что подступы к софии мира не загорожены неприступной стеной.
3. От темы бесконечности есть прямой переход к теме точки. Если кто-то думает иначе, весело будет без труда пройти там, где на первый взгляд нет связи. Можно начать с примера редукции тела в законах классической физики к точечной массе. Самое важное здесь то, что точка, к которой сведена масса физического тела, оказывается для классической механики беспроблемно определимой в координатах пространства.
Умственную операцию сведения тела к точке умели проводить и древние. Но они сразу попадали в апорию, непроходимый тупик. В парадоксе Парменида-Зенона об Ахиллесе и черепахе оба эти существа сведены к точечным массам. Ахиллес не догонит черепаху вовсе не потому, что каждый раз, дойдя до черепахи, он увидит, что она снова от него чуть отдалилась, а потому что при любом приближении Ахиллеса к черепахе между ними разместится снова бесконечность точек, поскольку любое самое малое отстояние из-за безразмерности точки все равно вместит в себя бесконечность точек, хотя и в другом масштабе. Среди них затеряется точка черепахи. Задача Ахиллеса, состоящая в том, чтобы из бесконечности выбрасываемых любым отстоянием от черепахи точек выбрать именно точку черепахи, никогда не упростится. Она в принципе нерешаема. Невозможно уловить точку в ситуации, когда движение к ней создает новые бесконечности точек, из которых надо выбирать. Поскольку нет понятия предела, ни на какой ступени задача Ахиллеса не облегчится и не упростится, а значит никогда и не будет выполнена. Ахиллес, превратившись в точку, навсегда потерял тем самым другую точку, черепаху. Для античной математической строгости превратить тело в точечную массу и не потерять его невозможно. Новоевропейская механика, которая на свое счастье или на свою беду переступила черту, для античной мысли запретную, показалась бы древним магией, если не чем-то более темным.
Из-за неуловимости точки нельзя было сосчитывать точки. Поэтому нельзя было, строго рассуждая, сказать, что точек больше чем одна — еще один парадокс. Он, кстати, и был решением проблемы Ахиллеса и черепахи: как только они оба превратились в точечные массы, стало невозможно говорить что они разные, что они не одна и та же точка. Вспомним старое и в сущности не так уж давно забытое. Для кардинала Николая Кузанского равенство всех точек мира одной единственной не гипотеза, а несомненность, хотя и неочевидная, подлежащая математическому доказательству. Трактат «Простец об уме» заглавием гл. 9 имеет: «Существует одна-единственная точка». § 118:
Линия имеет только одну точку, которая, будучи продолженной, и оказывается линией.
О линии как продолжении точки придется еще говорить подробнее.
Во всех атомах — одна и та же точка, как во всех белых вещах — одна и та же белизна.
Точка «неразмножима» (Игра шара I 10; II 84; Наука незнания II 3, 105).
Альберт. Я не очень хорошо это понимаю. Объясни, пожалуйста, почему точка не размноживается и не получается много точек, хотя повсюду в количественном мы видим [массы точек]?
Кардинал. Во всем белом ум видит белизну, но белизна, разумеется, все равно остается единственной. Так во всех атомах он видит точку, но из-за этого точек не становится много.
Единственность точки демонстрируется в мысленном эксперименте с Ахиллесом и черепахой от противного через невозможность наведения, нацеливания и попадания одной точкой в другую. Выбрать точку из бесконечности смогли только лимитировав бесконечность внесением в нее системы координат и постулировав фиксацию точки в ней. Ахиллес и черепаха — отрезвляющий эксперимент, показывающий между прочим невозможность проведения линии между, приходится брать в кавычки, «двумя точками».
Только кажется, что эксперимент абстрагируется от, так сказать, геометрической возможности догнать черепаху. Кто-нибудь подумает: пусть Ахиллес не в состоянии из выплескивающихся перед ним бесконечностей точек выбрать и уловить одну нужную, но не может ли он, так сказать, с закрытыми глазами скользить по прямой, проведенной от его точки к точке черепахи. Рано или поздно он невольно столкнется с уловляемой точкой, даже если сам не сумеет отчетливо фиксировать момент. Столкновение кажется очевидным. Хорошо, если читателю придет в голову это возражение. Оно необходимо для понимания еще одного парадокса точки. Он в следующем.
4. У Евклида возможность провести от любой точки до любой точки прямую линию — это постулат, т.е. требование-допущение. Евклид требует, чтобы такое проведение точки было возможно, так ему нужно для его геометрии; его слушатель со своей стороны допускает, дает разрешение в ответ на такое требование. Я читаю в довольно простой книге по истории математики напоминание о том, что между аксиомами и постулатами следует различать. Различение действительно нужное, хотя даже в справочниках часто смешивают аксиомы и постулаты. Евклид просит принять, что прямую между двумя точками провести можно. Всего у него пять постулатов, αἰτήματα, начинающихся словом ᾐτήσθω, пусть будет попрошено, пусть мы попросим.
Постулат — это лишь принцип, который геометр предлагает своему собеседнику принять, но который не является ни ‘очевидным’, ни ‘аксиоматическим’ и который можно отвергнуть, не приходя к противоречию. По-видимому, Евклид придерживался аристотелевской позиции, согласно которой постулаты интерпретировались как простые ‘гипотезы’; они будут подтверждены, если выведенные из них следствия будут соответствовать действительности […] Позиция последователей Евклида была более примитивной: вплоть до XIX века геометры видели в постулатах евклидовой геометрии неопровержимые истины, применяемые для описания чувственного мира [235].
Чтобы провести прямую от точки к точке, надо ту точку уже из бесконечности точек выделить, т.е. сначала решить парадокс Ахиллеса и черепахи. Только тогда можно будет считать первый постулат Евклида аксиомой; наоборот поступать нельзя. Перед Ахиллесом, не знающим Евклида, пока еще не пролегает прямая, по которой он как по рельсам докатится до точки черепахи. Или можно сказать — уже не пролегает, потому что парменидовский или зеноновский Ахиллес успел опередить Евклида и располагается в геометрии Лобачевского.
Когда думают, что Лобачевский сначала имел в воображении (есть почти технический термин, воображаемая геометрия Лобачевского) другое, искривленное пространство по типу, скажем, гиперболы, а потом на нем построил геометрию, в которой параллельные пересекаются, то опять перевертывают наоборот. Воображаемым — условным, предполагающим снятие парадокса точки — было Евклидово пространство, а в чистом, допостулатном (до Евклидовых прошений и наших мало продуманных разрешений) пространстве Парменида-Зенона проблемы проведения через точку больше чем одной параллельной прямой не существует. Эта проблема вполне отменяется другой, остановившей ум гораздо раньше, проблемой с проведением прямой через точку, и еще раньше — проблемой с фиксацией точки: точка только одна, она не прибавляется к другой точке и не сопоставляется с ней, она неуловимо ускользает. «Точки», которые соединены «прямой», — уже следствие позднего условия и договора; непересечение параллельных — лишь следствие из этой условности. Лобачевский вышел из условного воображаемого пространства, не согласившись принять постулат за аксиому.
Похожие книги на "Другое начало", Бибихин Владимир Вениаминович
Бибихин Владимир Вениаминович читать все книги автора по порядку
Бибихин Владимир Вениаминович - все книги автора в одном месте читать по порядку полные версии на сайте онлайн библиотеки mir-knigi.info.