На простом примере я попытаюсь показать, как строится матрица плотности. Рассмотрим систему, состоящую из двух частей ( Аи B), каждая из которых может находиться в двух состояниях 0 и 1. Вектор типа |01ñ означает, что подсистема
А
находится в состоянии 0 (пусть она стоит на первой позиции), а подсистема
B— в состоянии 1.
Если система замкнута (чистое состояние), то мы можем записать для нее вектор состояния, например, в стандартном базисе:
|Ψñ = a|00ñ + b|01ñ + c|10ñ + d|11ñ, (3.1)
где a, b, c, d— в общем случае комплексные числа (амплитуды) и выполняется условие нормировки | a| 2+ | b| 2+ | c| 2+ | d| 2= 1.
Вектор состояния (3.1) описывает все возможные состояния системы, и их бесконечное число, поскольку амплитуды заданы на множестве комплексных чисел. То есть a, b, c, dмогут быть любыми числами (удовлетворяющими условию нормировки), как вещественными, так и комплексными, и таких чисел бесконечно много.
Матрица плотности для чистого состояния записывается как проектор |ΨñáΨ| (вектор-столбец (3.1) нужно умножить на комплексно сопряженную строку). Это матрица 4 × 4 и по диагонали в ней стоят | a| 2, | b| 2, | c| 2, | d| 2— это вероятности нахождения системы в каждом из четырех возможных собственных состояний |00ñ, |01ñ, |10ñ, |11ñ соответственно. Сумма вероятностей этих состояний (след матрицы плотности) равна 1 (условие нормировки). Недиагональные элементы характеризуют корреляции (взаимодействия) между четырьмя различными состояниями системы, в них содержится информация о градиентах энергии, возникающих в ней.
Состояние (3.1) может быть максимально запутанным, например, одно из них:
. (3.2)
Матрица плотности в этом случае равна:
. (3.3)
То есть система с равной вероятностью 1/2
находится
в состояниях |00ñ и |11ñ («кот ни жив, ни мертв») — это диагональные элементы. И корреляции между этими состояниями максимальны (недиагональные элементы). Мы видим, что недиагональные элементы равны друг другу и расположены симметрично, как и должно быть для любой матрицы плотности.
При измерении этого нелокального состояния (при декогеренции) мы получим одно из двух классических локальных (сепарабельных) состояний |00ñ или |11ñ с равной вероятностью.
Существует простой способ проверить, относится ли какая-либо матрица плотности к чистому состоянию или нет. Если умножить матрицу саму на себя, и она при этом не изменится (получится та же самая матрица), то есть если выполняется равенство ρ 2=
ρ
, то можно сразу сказать, что данная матрица плотности описывает чистое состояние, и для него может быть записан вектор состояния. Такие матрицы, которые не меняются при умножении самой на себя, называются идемпотентными. Таким образом, любая матрица плотности чистого состояния — идемпотентная.
Если система незамкнутая (открытая), то это смешанное состояние, и тогда она не описывается вектором состояния, но ее по-прежнему можно описать матрицей плотности. Например, максимально смешанное состояние:
. (3.4)
Его уже нельзя записать в виде вектора состояния (3.1). В этом случае нет корреляций между состояниями |00ñ|01ñ|10ñ|11ñ, и при измерении можно получить любое из этих состояний с равной вероятностью 1/4.
Замечу, что матрица плотности такого вида получается, если мы хотим описать состояние одной из подсистем, например
А
, в случае максимально запутанного состояния типа (3.2). Так, если мы возьмем частичный след по подсистеме
Bи получим частичную матрицу плотности размерностью 2 × 2, которая описывает подсистему
А
, то эта матрица плотности будет соответствовать максимально смешанному состоянию и иметь вид:
. (3.5)
Подсистема
А
с равной вероятностью 1/2 может находиться в состоянии |0ñ или |1ñ.
Нужно еще иметь в виду, что, когда мы говорим «состояние системы», то смысл этого выражения обычно зависит от контекста. Речь может идти о состоянии, полученном в результате измерения (декогеренции), то есть об одном из реализованных собственныхсостояний системы (об одном из диагональных состояний матрицы плотности). Или имеется в виду исходное состояние, то есть сам вектор состояния (вся матрица плотности), тогда по ее структуре можно судить о квантовой запутанности и о корреляциях (в частности, о градиентах энергии). В простых случаях, например, для матрицы плотности типа (3.3) (когда 1/2 стоят по четырем углам, а остальные нули), сразу можно сказать, что это максимально запутанное cat-состояние.
Понятие матрицы плотности исключительно важно в квантовой теории. Только в терминах матриц плотности можно рассматривать части взаимодействующей системы. Рассуждать об «
ЭПР-парадоксе
» в терминах пси-функции вообще не имеет смысла. Матрица плотности содержит информацию двоякого рода: во-первых — о корреляциях между частями самой системы; во-вторых — о корреляциях системы с окружением (которых может и не быть в случае чистого состояния). Речь идет, прежде всего, о нелокальных корреляциях, поскольку классические корреляции (сепарабельные состояния) и раньше с успехом описывались теми же пси-функциями. Но только на основе матриц плотности стало возможным описание квантовых корреляций (несепарабельных состояний). Только с их помощью квантовая теория стала по-настоящему квантовой, способной охватить ее основную специфику, отличающ
ую ее о
т классической физики — несепарабельные (запутанные) состояния.
На основе матриц плотности стало возможным ввести количественные характеристики квантовой запутанности, и этот момент, как я считаю, стал поворотным для квантовой теории. По своей значимости данное событие стоит в ряду самых выдающихся достижений не только квантовой механики, но и всей науки в целом. Появилась возможность количественно описывать новую, неизведанную сферу реальности. Я бы сравнил этот момент с отрывом науки от грешной земли и ее выходом в безбрежный «космос», в «царство небесное» нелокальных состояний.
3.2. Количественное описание квантовых корреляций
Мера квантовой запутанности — это количественная характеристика несепарабельности, числовое значение величины квантовых корреляций и степени нелокальности объекта. По моему мнению, до того, как квантовая теория стала количественно описывать запутанные состояния, она и не была квантовой. Как и классическая физика, она ограничивалась описанием сепарабельных состояний. Можно сказать, что «микроскопом забивали гвозди»: тонкий теоретический инструмент, который позволял заглянуть в самые глубины мироздания, приблизить понимание нелокальных уровней реальности, использовался не по назначению. Я бы сказал, что в прошлом веке квантовая механика «тренировалась», отрабатывала и совершенствовала свои методы на плотной материи, «разминалась» перед прыжком в Тонкий мир. Причем уже в процессе этой своеобразной разминки ее результаты перекрыли все достижения классической физики вместе взятые.
