[a , b ] = — [b , а ], [(la ), b ] = l [a , b ],
[с , (a +b )] = [с , a ] + [с , b ], [a , [b , с ]] =b (a , с ) — с (a , b ),
([a , b ], [с , d ]) = (a , c )(b , d ) — (a , d )(b , c ).
Если в ортонормированном базисе i, j, k , образующем правую тройку, векторы a и b имеют соответственно координаты íX1 , Y1 , Z1 ý и íX2 , Y2 , Z2 ý, то [a, b ] = íY1 Z2 — Y2 Z1 , Z1 X2 — Z2 X1 , X1 Y2 — X2 Y1 ý. Понятие векторного произведения связано с различными вопросами механики и физики. Например, скорость v точки М тела, вращающегося с угловой скоростью со вокруг оси l, равна [w, r ], где
Смешанным произведением векторов a, b и c называется скалярное произведение вектора [a, b ] на вектор с : ([a, b ], с ). Обозначается смешанное произведение символомabc . Смешанное произведение не параллельных одной плоскости векторов a , b и с численно равно объёму параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a , b и с , взятому со знаком плюс, если тройка a , b и с правая, и со знаком минус, если тройка левая. Если же векторы a , b и с параллельны одной плоскости, тоabc = 0 . Справедливо также следующее свойствоabc =bca =cab . Если координаты векторов a , b и с в ортонормированном базисе i, j, k , образующем правую тройку, соответственно равны íX1 , Y1 , Z1 ý, íX2 , Y2 , Z2 ý и íХ3 , Y3 , Z3 ý, то
Вектор-функции скалярных аргументов. В механике, физике, дифференциальной геометрии широко используется понятие вектор-функции одного или нескольких скалярных аргументов. Если каждому значению переменной t из некоторого множества ít ý ставится в соответствие по известному закону определённый вектор r , то говорят, что на множестве ít ý задана вектор-функция (векторная функция) r =r (t ). Так как вектор r определяется координатами íx, y, z ý, то задание вектор-функции r = r (t ) эквивалентно заданию трёх скалярных функций: х = x (t ), y = y (t ), z = z (t ). Понятие вектор-функции становится особенно наглядным, если обратиться к так называемому годографу этой функции, то есть к геометрическому месту концов всех векторов r (t ), приложенных к началу координат О (рис. 7 ). Если при этом рассматривать аргумент t как время, то вектор-функция r (t ) представляет собой закон движения точки М, движущейся по кривой L — годографу функции r (t ).
Для изучения вектор-функций важную роль играет понятие производной. Это понятие вводится следующим образом: аргументу t придаётся приращение Dt ¹ 0 и вектор Dr =r (t + Dt ) — r (t ) (на рис. 7 это вектор
) множится на
1/Dt . Предел выражения
Dr /Dt при
Dt ® 0 называется производной вектор-функции
r (
t ) и обозначается
r ' (
t ) или
dr /dt . Производная представляет собой вектор, касательный к годографу
L в данной точке
М. Если вектор-функция рассматривается как закон движения точки по кривой
L, то производная
r ' (
t ) равна скорости движения этой точки. Правила вычисления производных различных произведений вектор-функций подобны правилам вычисления производных произведений обычных функций. Например,
(r1 , r2 )' = (r '1 , r2 ) + (r1 , r '2 ),
[r1 , r2 ]’ = [r '1 , r2 ] + [r1 , r '2 ].
В дифференциальной геометрии вектор-функции одного аргумента используются для задания кривых. Для задания поверхностей пользуются вектор-функциями двух аргументов.
Векторный анализ. В механике, физике и геометрии широко используются понятия скалярного и векторного поля. Температура неравномерно нагретой пластинки, плотность неоднородного тела представляют собой физические примеры соответственно плоского и пространственного скалярного поля. Векторное поле образует множество всех векторов скоростей частиц установившегося потока жидкости. Примерами векторных полей могут служить также поле силы тяжести, магнитное и электрическое напряжение электромагнитного поля.
Для математического задания скалярных и векторных полей используются соответственно скалярные и векторные функции. Ясно, что плотность тела представляет собой скалярную функцию точки, а поле скоростей частиц установившегося потока жидкости — векторную функцию точки. Математический аппарат теории поля обычно называют векторным анализом. Для геометрической характеристики скалярного поля используются понятия линий и поверхностей уровня. Линией уровня плоского скалярного поля называется линия, на которой функция, задающая поле, имеет постоянное значение. Аналогично определяется поверхность уровня пространственного поля. Примерами линии уровня могут служить изотермы — линии уровня скалярного поля температур неравномерно нагретой пластинки.
Обратимся к поверхности (линии) уровня скалярного поля, проходящей через данную точку М. При смещении по нормали к этой поверхности (линии) в точке М наблюдается максимальное изменение в этой точке функции f задающей поле. Это изменение характеризуется с помощью градиента скалярного поля. Градиент представляет собой вектор, направленный по нормали к поверхности (линии) уровня в точке М в сторону возрастания f этой точке. Величина градиента равна производной f указанном направлении. Обозначается градиент символом gradf . В базисе i, j k градиент grad f имеет координаты
для плоского поля координаты градиента равны
Градиент скалярного поля представляет собой векторное поле.
