Рис. к ст. Конечных приращений формула.
Конечных разностей исчисление
Коне'чных ра'зностей исчисле'ние,
раздел математики, в котором изучаются функции при дискретном (прерывном) изменении аргумента, в отличие от дифференциального исчисления
и интегрального исчисления
,
где аргумент предполагается непрерывно изменяющимся. Конечными разностями «вперёд» для последовательности значений y1
= f (x1
), y2
= f (x2
),..., yk
= f (xk
),...
функции f (x),
соответствующих последовательности значений аргумента x
,..., xk
,,...
(xk
= х
+ kh, h —
постоянное, k —
целое), называют выражения:
Dyk
?
Df (xk
) = f (xk+1
) - f (xk
)
(разности 1-го порядка),
D2
yk
?
D2
f (xk
) =
Df (xk+1
)-
Df (xk
) = f (xk+2
)-2f (xk+1
) + f (xk
)
(разности 2-го порядка),
Dn
yk
?
Dn
f (xk
) =
Dn-1
f (xk+1
) - Dn-1
f (xk
)
(разности n-го порядка).
Соответственно, конечные разности «назад» Dn
yк
определяются равенствами
Dn
yк
=
Dn
yк
+ n
.
При интерполяции
часто пользуются т. н. центральными разностями dn
y
, которые вычисляются при нечётном n в точках х = xi
+1
l2
h,
а при чётном n в точках х = xi
по формулам
df (xi
+ 1
/2
h) ? dyi+1/2
= f (xi+1
) - f (xi
),
d2
f (xi
) ? d2
yi
= dyi+1/2
,
d2m-1
f (xi
+ 1
/2
h) ? d2т—
1yi
+1/2
= d2т—
2yi
+1
-d2т—
2yi
,
d2m
f (xi
) ? d2т
уi
= d2т—
1yi
+1/2
- d2т—
1yi
-1/2
Они дополняются средними арифметическими
,
,
где m =
1,2,...; если m =
0, то полагают
.
Центральные разности dn
y
связаны с конечными разностями Dn
y
соотношениями
d2т
уi
= D2т
уi-m
,
d2т+
1yi
+1/2
=
D2m+1
yi-m
Если значения аргумента не составляют арифметической прогрессии, т. е. xk+1
- xk
не
есть тождественно постоянная, то вместо конечных разностей пользуются разделёнными разностями, последовательно определяемыми по формулам
…………………………..……………………
.
Связь между конечными разностями и производными устанавливается формулой Dn
yk
= f (n)
(),
где xk
??xk+n
.
Существует полная аналогия между ролью конечных разностей в теории функций дискретного аргумента и ролью производных в теории функций непрерывного аргумента; конечные разности являются удобным аппаратом при построении ряда разделов численного анализа: интерполирование функций, численное дифференцирование и интегрирование, численные методы решения дифференциальных уравнений.
Например, для приближённого решения
дифференциального уравнения (обыкновенного или с частными производными) часто заменяют входящие в него производные соответствующими разностями, деленными на степени разностей аргументов, и решают полученное таким способом разностное уравнение (одномерное или многомерное).
Важный раздел К. р. и. посвящен решению разностных уравнений вида
F [x,(f (x),...,
Dn
f (x)] = 0
(1)
задаче, во многом сходной с решением дифференциальных уравнений n-
го порядка. Обычно уравнение (1) записывают в виде
Ф [х, f (x), f (x1
),..., f (xn
)
] =
0,
выражая разности через соответствующие значения функции. Особенно простой случай представляет линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:
f (x+n) + a1
f (x+n-1) +... + an
f (x) = 0,
где a1
,..., an
— постоянные числа. Чтобы решить такое уравнение, находят корни l1
, l2
,... ln
его характеристического уравнения
ln
+ a1
ln-1
+...+an
= 0.
Тогда общее решение данного уравнения представится в виде
f (x) = С1
l1
х
+ C2
l2
x
+... + Cn
ln
x
,
где C1
, C2
,..., Cn
—
произвольные постоянные (здесь предполагается, что среди чисел l1
, l2
,..., ln
нет равных).
Лит.:
Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1—2, М., 1966; Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей, 3 изд., М., 1967.
Под редакцией Н. С. Бахвалова.
Конжаковский камень
Конжако'вский ка'мень,
один из самых высоких горных массивов Урала. Расположен в северной части Среднего Урала, в Свердловской области РСФСР. Высота 1569 м.
Сложен пироксенитами, дунитами и габбро. Склоны глубоко изрезаны речными долинами и покрыты хвойными лесами (сосна, лиственница, ель) с примесью берёзы. Выше 900—1000 м —
горная тундра, каменные россыпи.
