Большая Советская Энциклопедия (МА) - Большая Советская Энциклопедия "БСЭ"

  Данные первого столбца таблицы 1а собраны с целью установления точности изготовления деталей, расчётный диаметр которых равен 13,40 мм, при нормальном ходе производства. Простейшим допущением, которое может быть в этом случае обосновано некоторыми теоретическими соображениями, является предположение, что диаметры отдельных деталей можно рассматривать как случайные величины X , подчинённые нормальному распределению вероятностей

  P{X <x } =

.   (1)

Если это допущение верно, то параметры a и s² — среднее и дисперсию вероятностного распределения — можно с достаточной точностью оценить по соответствующим характеристикам статистического распределения (так как число наблюдений n = 200 достаточно велико). В качестве оценки для теоретической дисперсии s² предпочитают не статистическую дисперсию D² = S²/ n , а несмещенную оценку

  s² = S² / (n - 1).

  Для теоретического среднего квадратичного отклонения не существует общего (пригодного при любом распределении вероятностей) выражения несмещенной оценки. В качестве оценки (вообще говоря, смещенной) для s чаще всего употребляют s . Точность оценок

 и s для a и s указывается соответствующими дисперсиями, которые в случае нормального распределения (1) имеют вид

  s²_a = s²/n ~ s² / n ,

 

 ~ 2s⁴/n ,

 

 ~ s² / 2n ,

где знак ~ обозначает приближённое равенство при больших n . Таким образом, уславливаясь прибавлять к оценкам со знаком ± их среднее квадратичное отклонение, имеем при больших n в предположении нормального распределения (1):

 

,   .   (2)

Для данных первого столбца таблицы 1а формулы (2) дают

  a = 13,416 ± 0,008,

  s = 0,110 ± 0,006.

Объём выборки n = 200 достаточен для законности пользования этими формулами теории больших выборок.

  Дальнейшие сведения об оценке параметров теоретических распределений вероятностей см. в статьях Статистические оценки , Доверительные границы . О способах, при помощи которых по данным первого столбца таблицы 1а можно было бы проверить исходные гипотезы нормальности распределения и независимости наблюдений, см. в статьях Распределения , Непараметрические методы , Статистическая проверка гипотез .

  При рассмотрении данных следующих столбцов таблицы 1а, каждый из которых составлен на основе 10 измерений, употребление формул теории больших выборок, установленных лишь в качестве предельных формул при n ® ¥, может служить только для первой ориентировки. В качестве приближённых оценок параметров a и s по-прежнему употребляются величины

 и s , но для оценки точности и надёжности таких оценок необходимо применять теорию малых выборок . При сравнении по правилам М. с. выписанных в последних строках таблицы 1а значений  и s для трёх выборок с нормальными значениями a и s, оцененными по первому столбцу таблицы, можно сделать следующие выводы: первая выборка не даёт оснований предполагать существенного изменения хода производственного процесса, вторая выборка даёт основание к заключению об уменьшении среднего диаметра а , третья выборка — к заключению об увеличении дисперсии.

  Все основанные на теории вероятностей правила статистической оценки параметров и проверки гипотез действуют лишь с определённым значимости уровнем w < 1, то есть могут приводить к ошибочным результатам с вероятностью a = 1 — w. Например, если в предположении нормального распределения и известной теоретической дисперсии s² производить оценку a по

 по правилу

 

,

то вероятность ошибки будет равна a, связанному с k соотношением (см. таблицу 3);

  

.

  Вопрос о рациональном выборе уровня значимости в данных конкретных условиях (например, при разработке правил статистического контроля массовой продукции) является весьма существенным. При этом желанию применять правила лишь с высоким (близким к единице) уровнем значимости противостоит то обстоятельство, что при ограниченном числе наблюдений такие правила позволяют сделать лишь очень бедные выводы (не дают возможности установить неравенство вероятностей даже при заметном неравенстве частот и т. д.).

Таблица 3. — Зависимость a и w = 1 — a от k .

k	1,96	2,58	3,00	3,29
a	0,050	0,010	0,003	0,001
w	0,950	0,990	0,997	0,999

  Выборочный метод. В предыдущем разделе результаты наблюдений, используемых для оценки распределения вероятностей или его параметров, подразумевались (хотя это и не оговаривалось) независимыми (см. Вероятностей теория и особенно Независимость ). Хорошо изученным примером использования зависимых наблюдений может служить оценка статистического распределения или его параметров в «генеральной совокупности» из N объектов по произведённой из неё «выборке», содержащей n < N объектов.

  Терминологическое замечание. Часто совокупность n наблюдений, сделанных для оценки распределения вероятностей, также называют выборкой. Этим объясняется, например, происхождение употребленного выше термина «теория малых выборок». Эта терминология связана с тем, что часто распределение вероятностей представляют себе в виде статистического распределения в воображаемой бесконечной «генеральной совокупности» и условно считают, что наблюдаемые n объектов «выбираются» из этой совокупности. Эти представления не имеют отчётливого содержания. В собственном смысле слова выборочный метод всегда предполагает исходную конечную генеральную совокупность.

  Примером применения выборочного метода может служить следующий. Пусть в партии из N изделий имеется L дефектных. Из партии отбирается случайным образом n < N изделий (например, n = 100 при N = 10 000). Вероятность того, что число l дефектных изделий в выборке будет равно m , равна

  P {l = m } =

  Таким образом, l и соответствующая относительная частота h = l/n оказываются случайными величинами, распределение которых зависит от параметра L или, что то же самое, от параметра Н = L / N . Задача оценки относительной частоты Н по выборочной относительной частоте h очень похожа на задачу оценки вероятности р по относительной частоте h при n независимых испытаниях. При больших n с вероятностью, близкой к единице, в задаче об оценке вероятности имеет место приближённое равенство р ~ h , а в задаче об оценке относительной частоты — приближённое равенство H ~ h . Однако в задаче об оценке Н формулы сложнее, а отклонения h от Н в среднем несколько меньше, чем отклонения h от р в задаче об оценке вероятности (при том же n ). Таким образом, оценка доли Н дефектных изделий в партии по доле h дефектных изделий в выборке при данном объёме выборки n производится всегда (при любом N ) несколько точнее, чем оценка вероятности р по относительной частоте h при независимых испытаниях. Когда N/n ® ¥, формулы задачи о выборке переходят асимптотически в формулы задачи об оценке вероятности р . См. также Выборочный метод .