Линейная К. з. даже при требовании равномерной эллиптичности дифференциального оператора D, вообще говоря, не является фредгольмовой. В частности, задача наклонной производной может не оказаться фредгольмовой, если вектор (a1..., an) в некоторых точках границы S лежит в касательной к S плоскости.
Когда дифференциальный оператор D не является эллиптическим, К. з. (4), (5) может вовсе не иметь содержательного смысла, если часть границы S области G не освободить от краевых данных и на структуру носителя краевых данных не наложить определённые (порой весьма сильные) ограничения. Так, например, уравнение теплопроводности
,являющееся типичным представителем уравнений параболического типа, в квадрате, ограниченном прямыми: x1= , x1 = 1, x2 = , x2 = 1, имеет единственное решение u (x1, x2), удовлетворяющее краевым условиям:
u (0, x2) = f (x2), 0 £ x2 £ 1
u (x1,0) = j(x1), 0 £ x1 £ 1
u (1, x2) = y(x2), 0 £ x2 £ 1
f (0) = j(0), y(0) = j(1)
при произвольных достаточно гладких данных f, j. y. Следовательно, краевое условие u (x1,1) = q(x1), £ x1 £ 1, уже нельзя задавать произвольно. Точно так же рассмотренное выше простейшее уравнение гиперболического типа (1) в квадрате, ограниченном прямыми: x1 + x2 = 0, x1 - x2 = 0, x1 + x2 = 1, x1 - x2 = —1, имеет единственное решение u (x1, x2), удовлетворяющее краевым условиям:
u (x1, x1) = f (x1), £ x1£ 1/2
u (x1,-x1) = j(x1), —1/2 £ x1£
f (0) = j(0)
при произвольных достаточно гладких данных f и j. Очевидно, что в рассмотренном случае краевые значения u (x1,1+x1), —1/2 £ x1 £ 0, и u (х1, 1-x1), 0 £ x1£ 1/2, не могут быть заданы произвольно.
Особо ставятся К. з., когда в разных частях рассматриваемой области G дифференциальный оператор D принадлежит различным (эллиптическим, гиперболическим и параболическим) типам [т. е. когда уравнение (4) является уравнением смешанного типа].
Для исследования К. з. широко используются методы интегральных уравнений (потенциала), априорных оценок и конечных разностей.
Лит.: Бернштеин С. Н., Собр. соч., т. 3, [М.], 1960; Бицадзе А. В., Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, М., 1966; Векуа И. Н., Новые методы решения эллиптических уравнений, М.— Л., 1948; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, М., 1967; Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения, 3 изд., М., 1968; Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961; Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Новосибирск, 1962; Тихонов А. Н., Самарский Д. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966.
А. В. Бицадзе.
Кража
Кра'жа, в уголовном праве тайное похищение имущества. Тайный способ изъятия имущества, предполагающий наличие у преступника уверенности, что он действует незаметно для потерпевшего и др. лиц, отличает К. от грабежа и разбоя. В СССР УК союзных республик устанавливают раздельную ответственность за К. с целью завладения государственным или общественным имуществом и за К. с целью завладения личным имуществом (например, УК РСФСР, ст. ст. 89 и 144). За К. государственного или общественного имущества установлено более строгое наказание, чем за К. личного имущества. Ответственность за К. государственного или общественного имущества в особо крупных размерах и за мелкую К. этого же имущества предусмотрена специальными нормами (например, ст. ст. 931 и 96 УК РСФСР). К обстоятельствам, отягощающим ответственность за К., закон относит: совершение К. повторно; по предварительному сговору группой лиц; с применением технических средств (только в УК РСФСР, Грузинской ССР и Таджикской ССР); причинение значительного ущерба потерпевшему (при К. личного имущества). Особо отягчающими обстоятельствами являются совершение К. особо опасным рецидивистом или в крупных размерах (при К. государственного или общественного имущества).
Краинка
Кра'инка, бальнеологический и грязевой курорт в Суворовском районе Тульской области РСФСР. Расположен в 107 км к З. от Тулы, на левом высоком берегу р. Черепеть. Лето тёплое (средняя температура июля 18 °С), зима умеренно мягкая (средняя температура января —10 °С); осадков около 550 мм в год. Лечебные средства: сульфатные, кальциевые и сульфатные кальциево-магниевые воды, выходящие на поверхность у берега реки и применяемые для ванн и питья, а также торф, залегающий в пойме р. Черепеть. Лечение больных с болезнями органов движения и опоры, пищеварения, нервной системы, гинекологических. Санаторий, водогрязелечебница, аэросолярий.
Краиште
Кра'иште, горная область в Болгарии и Югославии, между рр. Струма на В. и Южная Морава на З. Состоит из горных хребтов высотой до 1922 м (г. Бесна-Кобила в Югославии) и разделяющих их котловин и горных проходов. Сложена кристаллическими сланцами и интрузивными породами, перекрытыми разорванным покровом мезозойских песчаников, мергелей, известняков, а в котловинах — кайнозойскими рыхлыми отложениями. Интенсивное эрозионное (в т. ч. овражное) расчленение. Широколиственные леса (из дуба, граба, ясеня, бука) и горные луга. Противоэрозионные лесопосадки. Скотоводство. В котловинах — посевы пшеницы, кукурузы; виноградники, сады.
Край
Край (от общеславянского краяти — резать), 1) страна, область, земля, местность. Первоначально — территория, расположенная на границах владений государства, окраина. Впоследствии — значительная по пространству область — географическая (Мещёрский К., Туруханский К., Уссурийский К. и др.) или историческая (Замосковный край, Новороссийский К. и др.). В узком смысле К. называется любая местность, даже незначительная по размерам, тяготеющая к какому-либо географическому объекту (городу, реке и пр.).
2) В России 18 — начала 20 вв. название окраинных территорий империи, состоявших из нескольких губерний или областей под общим управлением; синоним названия крупной административно-территориальной единицы — генерал-губернаторства. Официально применялся к Кавказу (Кавказский К. в 1882—1905) и Туркестану (Туркестанский К. в 1886—1917), к др. территориям — лишь полуофициально. Наиболее употребительными были названия: Новороссийский К. (1805—74, Херсонская, Екатеринославская, Таврическая и Бессарабская губернии; см. Новороссия), Оренбургский К. (1796—1865, Оренбургская и Самарская губернии; 1865—81, Оренбургская и Уфимская губернии, Уральская и Тургайская области), Приамурский К. (1884—1917, Амурская, Забайкальская, Приморская области), Прибалтийский (Остзейский) К. (1801—1876, Лифляндская, Курляндская и Эстляндская губернии), Привислянский К. (1874—1917, Варшавское генерал-губернаторство; 10 губерний Царства Польского), Северо-Западный К. (1850—1912, Виленская, Ковенская и Гродненская губернии), Степной К. (1882—1917, Акмолинская, Семипалатинская и до 1898 Семиреченская области), Юго-Западный К. (1832— 1914, Киевская, Подольская и Волынская губернии). После упразднения ряда генерал-губернаторств название «К.» традиционно сохранялось за их территориями до 1917.
