Большая Советская Энциклопедия (ВА) - Большая Советская Энциклопедия "БСЭ"

  Л. Н. Большев.

Вариационное исчисление

Вариацио'нное исчисление, математическая дисциплина, посвященная отысканию экстремальных (наибольших и наименьших) значений функционалов — переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций. В. и. является естественным развитием той главы математического анализа, которая посвящена задаче отыскания экстремумов функций. Возникновение и развитие В. и. тесно связано с задачами механики, физики и т.д.

  Одной из первых задач В. и. была знаменитая задача о брахистохроне (И. Бернулли, 1696): определить форму кривой, лежащей в вертикальной плоскости, по которой тяжёлая материальная точка, двигаясь под действием только одной силы тяжести и не имеющая начальной скорости, перейдёт из верхнего положения А в нижнее положение В за минимум времени. Эта задача сводится к отысканию функции у (х ), доставляющей минимум функционалу

  где а и b — абсциссы точек А и В.

  Другой такой же «исторической» задачей является задача об отыскании пути, вдоль которого распространяется свет, идущий от источника света (точка А ) к некоторой точке В, в среде с переменной оптической плотностью (то есть в среде, где скорость распространения v есть функция координат). Для решения этой задачи может быть использован, так называемый, Ферма принцип , согласно которому из всех кривых, соединяющих точки А и В, луч света распространяется вдоль той, по которой свет приходит из A в B за кратчайшее время. В простейшем случае, когда свет распространяется в плоскости, задача сводится к отысканию кривой y (x ), доставляющей минимум функционалу

  Из разрозненных задач подобного рода постепенно в 18 в. начало формироваться В. и. Но и после оформления В. и. в самостоятельную дисциплину она продолжала оставаться связанной с различными проблемами механики и физики. На протяжении 2-й половины 18 в. и всего 19 в. делались интенсивные попытки построить здание механики, опираясь на некоторые общие вариационные принципы (см. Вариационные принципы механики ). Со 2-й половины 19 в. начинают разрабатываться различные вариационные принципы в механике сплошных сред, затем позднее в квантовой механике, электродинамике и т.д. Возникают вариационные принципы и в средах с диссипацией энергии. Исследования во всех подобных областях продолжают служить базой формирования новых задач В. и. и областью приложения её методов. Однако со временем появились и новые классы задач, далеко раздвинувших традиционные границы дисциплины и превративших В. и. в одну из наиболее обширных ветвей современной математики, включающей в себя, с одной стороны, самые абстрактные вопросы, относящиеся в равной степени к топологии и функциональному анализу, а с другой — разнообразные вычислительные методы решения технических или экономических задач.

  Прямые методы . В. и. как самостоятельная научная дисциплина сформировалась в 18 в., главным образом благодаря работам Л. Эйлера .

  Простейшей задачей В. и. называют задачу отыскания функции x (t ), доставляющей экстремум функционалу

  где F — непрерывная и дифференцируемая функция своих аргументов. При этом функция x (t ) должна удовлетворять следующим условиям:

  а) она должна быть кусочно дифференцируемой,

  б) при t = t_o и t = T она должна принимать значения

  х (t_o ) = х , х (Т) = х_т .     (2)

  Обе задачи, рассмотренные в начале статьи, являются частными случаями простейшей задачи В. и.

  Первые вариационные задачи были задачами механики. Они были поставлены в 18 в. и, следуя традициям того времени, первый вопрос, на который надо было ответить, был вопрос о способе фактического отыскания функции x (t ), реализующей минимум функционала (1).

  Эйлер создал численный метод решения задач В. и., который получил название Эйлера метода ломаных . Этот метод был первым среди большого класса, так называемых, прямых методов ; все они основаны на редукции задачи отыскания экстремума функционала к задаче отыскания экстремума функции многих переменных. Поскольку для получения решения с высокой точностью задачу приходится сводить к отысканию экстремума функции с большим числом переменных, она становится весьма сложной для ручного счёта. Поэтому долгое время прямые методы были вне основного русла, по которому направлялись усилия математиков, занимавшихся В. и.

  В 20 в. интерес к прямым методам значительно усилился. Прежде всего были предложены новые способы редукции к задаче об экстремуме функции конечного числа переменных. Поясним эти идеи на простом примере. Рассмотрим снова задачу отыскания минимума функционала (1) при дополнит. условии

  x (t_o ) = x (T) = 0      (3)

  и будем разыскивать решение задачи в форме

  где j_n (t) — некоторая система функций, удовлетворяющих условиям типа (3). Тогда функционал J (x) становится функцией коэффициентов a_i :

  J = J (a_i ,..., a_N ),

  и задача сводится к отысканию минимума этой функции N переменных. При известных условиях, наложенных на систему функций {j_n } , решение этой задачи стремится при N ® ¥ к решению задачи (1) (см. Ритца и Галёркина методы ).

  Другая причина усиления интереса к прямым методам — это систематическое изучение конечноразностных методов в задачах математической физики, начавшееся с 20-х гг. 20 в. Применение ЭВМ превращает постепенно прямые методы в основной инструмент решения вариационных задач.

  Метод вариаций. Второе направление исследований — это изучение необходимых и достаточных условий, которым должна удовлетворять функция x (t ), реализующая экстремум функционала J (x). Его возникновение также связано с именем Эйлера. Предположим, что тем или иным способом построена функция x (t ). Как проверить, является ли эта функция решением задачи? Первый вариант ответа на этот вопрос был дан Эйлером в 1744. В приведённой ниже формулировке этого ответа употребляется введённое в 60-х гг. 18 в. Ж. Лагранжем понятие вариации (отсюда название — В. и.), являющееся обобщением понятия дифференциала на случай функционалов.

  Пусть x (t ) — функция, удовлетворяющая условию (2), a h (t) — произвольная гладкая функция, удовлетворяющая условию h (t_o ) = h (T) = 0. Тогда величина

  J (x + eh) = J*(e),

  где e — произвольное действительное число будет функцией e . Вариацией dJ функционала J называют производную

  (dJ*/de)_e = 0.

  Для простейшей задачи В. и.

  Разлагая полученное выражение в ряд по степеням e, получим

  где о (e) — члены более высокого порядка. Так как h (t_o ) = h (T ) = 0, то, проведя интегрирование по частям во втором интеграле, найдём