На практике невозможно осуществить такое условие, при котором все цифровые сигналы точно соответствуют одному из двух принятых уровней, и разрешаются некоторые допуски, так что следовало бы скорее говорить о двух интервалах, в которых находятся сигналы.
Рис. 12.2. Интерпретация уровней цифрового сигнала в положительной логике
Что такое двоичная система записи числа?
Объяснение двоичной системы проще всего провести сравнением с широко используемой в других областях десятичной системой.
Как известно, в десятичной системе для записи чисел используются десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Позиция (положение) каждой цифры в числе, записанном в десятичной системе, определяет ее значение, например цифра 3 в числе 235 определяет три десятка, т. е. 30, а цифра 3 в числе 2350 определяет три сотни, т. е. 300.
Для этих примеров можно записать:
235 = 2·102 + 3·101 + 5·100;
2350 = 2·103 + 3·102 + 5·101 + 0·100.
Как легко заметить, в десятичной системе каждое число записывается как последовательность коэффициентов при последовательных степенях основания этой системы.
В двоичной системе основание равно двум и имеются только две цифры 1 и 0. Последовательность цифр в двоичной записи числа представляет собой коэффициенты при соответствующих степенях двойки.
Например, имеем:
0 = 0·23 + 0·22 + 0·21 + 0·20, т. е. 0000;
1 = 0·23 + 0·22 + 0·21 + 1·20, т. е. 0001;
2 = 0·23 + 0·22 + 1·21 + 0·20, т. е. 0010;
3 = 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20, т. е. 0011;
4 = 0·23 + 1·22 + 0·21 + 0·20, т. е. 0100;
15 = 1·23 + 1·22 + 1·21 + 1·20, т. е. 1111;
235 = 1·27 + 1·26 + 1·25 + 0·24 + 1·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20 = (128 + 64 + 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1), т. е. 11101011.
Что такое двоично-десятичная система счисления?
Как видно из приведенных выше примеров, двоичная запись, образованная из четырех цифр, это четырехбитовая запись. Она позволяет записать лишь числа от 0 до 15 (23 + 22 + 21 + 20 = 8 + 4 + 2 + 1), и на этом ее емкость исчерпывается. В связи с этим в цифровой технике часто пользуются и другими двоичными системами, представляющими модификацию «чистой» системы, т. е. двоичной системы, обозначаемой обычно как 8421.
Часто применяется двоично-десятичный код. Он основан на том, что каждую цифру числа, записанного в десятичной системе, записывают отдельно с помощью четырех битов. Поясним это на примере числа 235 (табл. 12.1).
Достоинством двоично-десятичной системы является упрощение замены чисел, записанных в десятичной системе, числами, записанными в двоичной системе, и наоборот.
Какие основные действия над двоичными числами?
Очевидно, что действия с двоичными числами отличны от операций, которые выполняют с числами, записанными в десятичной системе. Они очень просты и легки для запоминания.
Сложение чисел, записанных в двоичной системе, выполняется в соответствии со следующим правилом (или иначе алгоритмом):
0 + 0 = 0;
0 + 1 = 1;
1 + 0 = 1;
1 + 1 = 0 с переносом единицы на следующую позицию влево.
Последний алгоритм имеет сходство со сложением в десятичной системе, когда результат сложения больше или равен 10,
Вычитание осуществляется согласно следующему алгоритму:
0 — 0 = 0;
0 — 1 = 1 и затем со следующей позиции (похоже на ситуацию в десятичной системе);
1 — 1 = 1;
1 — 1 = 0.
Умножение чисел в двоичной системе производится очень просто. Вместо большой таблицы умножения в десятичной системе в двоичной имеем маленькую и легкую для запоминания таблицу
0·0 = 0;
1·0 = 0;
0·1 = 0;
1·1 = 1.
Деление двоичных чисел обычно заменяется умножением, и при этом используются приведенные выше алгоритмы.
Что такое логические элементы?
Логическим элементом, или функтором, называется элемент, принимающий значения 0 и 1. В нем существует определенная логическая связь между входным и выходным сигналами. Связь между сигналами определяется логической функцией. Для математического описания логической функции используется булева алгебра.
Основными логическими операциями этой алгебры являются: отрицание, логическое умножение (конъюнкция), логическое сложение (дизъюнкция). Существуют и другие логические операции.
Что такое операция логического умножения?
Обозначим через х некоторое утверждение или состояние И примем, что если х истинно, то можно записать х = 1, а если х ложно, то х = 0. Введем еще одно утверждение или состояние у и также примем, что у = 1, если у истинно, и у = 0, если у ложно.
Основой логического умножения
z = х·у,
где z — логическое произведение, причем «·» означает именно логическую операцию, а не арифметическое действие, является анализ утверждения, что х и у истинны.
Рассмотрим четыре возможных случая:
Случай 1. Примем: х = 1; у = 1. Это означает, что х истинно, у истинно. Очевидно, утверждение «х и у истинны» также является истинным, что записываем следующим образом: z = х·у = 1.
Резюмируем, для х = 1 и у = 1 z = х·у = 1.
Случай 2. Примем: х = 1; у = 0. В этом случае сделанное утверждение z = х·у ложно, т. е. z = х·у = 0.
Резюмируем: для х = 1 и у = 0 z = х·у = 0.
Случай 3. Примем: х = 0; у = 1. В этом случае утверждение z = х·у ложно, как в случае 2, и можем записать для х = 0 и у = 0 z = х·у = 0.
Случай 4. Примем: х = 0; у = 0, и тогда z = х·у = 0, Рассмотренные случаи можем cвести в табл. 12.2
Как легко заметить, приведенная таблица идентична «таблице умножения», обязательной в двоичной системе и приведенной, выше.
Как осуществить функцию логического умножения?
Функция логического умножения, называемая также конъюнкцией, реализуется логическим элементом (функтором) И, элементом типа И и осуществляется в виде схемы, которая дает на выходе единицу тогда и только тогда, когда сигналы на обоих входах логического элемента имеют значение, соответствующее единице. Это совпадает с табл. 12.2. Самым простым способом такую функцию можно реализовать с помощью схемы, состоящей из двух реле, включенных последовательно (рис. 12.3). При этом можно получить четыре случая, описанных правилами логического умножения, причем один из них вызывает появление выходного сигнала.
